Transcription intégrale de l’épisode (elle dévoile toutes les surprises)
Question au lecteur
Y a-t-il plus de nombres entiers (1, 2, 3, 4…) que de nombres pairs (2, 4, 6, 8…) ?
- Plus d’entiers, évidemment
- Autant (bonne réponse)
- La question n’a pas de sens
Si vous répondez « Plus d’entiers, évidemment » :
Il y en a exactement autant.
Si vous répondez « Autant » :
Oui, autant. Et c’est vertigineux.
Associez à chaque entier son double : 1 et 2, 2 et 4, 3 et 6… Chaque entier trouve un partenaire pair, et chaque pair un partenaire entier. Personne n’est oublié, personne n’est compté deux fois.
Expérience interactive
Le paradoxe de Galilée
En 1638, Galilée remarque la même chose avec les carrés : 1, 4, 9, 16… Ils se font de plus en plus rares, et pourtant on peut les associer un à un à tous les entiers. Vérifiez.
Les entiers sont associés un à un à leurs carrés (1 à 1, 2 à 4, 3 à 9…). Plus on avance, plus les carrés sont rares parmi les entiers, et pourtant chacun garde son partenaire.
Une partie peut être aussi grande que le tout.
C’est même la définition moderne d’un ensemble infini. Galilée, déconcerté, en avait conclu que « plus grand » et « égal » n’ont pas de sens pour l’infini. Il se trompait.
L’hôtel infini
Il existe plusieurs infinis, et certains sont plus grands que d’autres. Des questions n’y auront jamais de réponse.
En 1924, le mathématicien David Hilbert raconte une histoire pour faire sentir cette étrangeté : un hôtel qui compte une infinité de chambres, toutes occupées.
Expérience interactive
L’hôtel de Hilbert
L’hôtel est complet. Un voyageur arrive. Puis un car entier, avec une infinité de passagers. Trouvez-leur une chambre.
Dans un hôtel infini et complet, un nouveau client trouve une chambre si chaque occupant passe dans la chambre suivante. Un car de voyageurs en nombre infini trouve place si chaque occupant passe dans la chambre de numéro double : toutes les chambres impaires se libèrent.
Un hôtel infini et complet a toujours de la place.
Hilbert voulait faire sentir que l’infini ne se comporte pas comme un très grand nombre. Et le plus étrange reste à venir.
Question au lecteur
Alors, tous les infinis sont-ils de la même taille ?
- Oui : l’infini, c’est l’infini
- Non : certains sont plus grands que d’autres (bonne réponse)
Si vous répondez « Oui : l’infini, c’est l’infini » :
Non. Et cela se démontre.
Si vous répondez « Non : certains sont plus grands que d’autres » :
Oui. Et cela se démontre.
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La diagonale de Cantor
Imaginons une liste infinie qui contiendrait tous les nombres compris entre 0 et 1. Fabriquons un nombre qui n’y est pas.
On écrit une liste infinie de nombres à virgule. On fabrique un nouveau nombre en changeant la première décimale du premier, la deuxième du deuxième, et ainsi de suite : il diffère de chaque nombre de la liste, qui ne pouvait donc pas être complète.
Il existe des infinis plus grands que d’autres.
Les nombres à virgule ne peuvent pas être numérotés : il y en a strictement plus que d’entiers. Et au-dessus, une échelle d’infinis toujours plus grands, qui ne s’arrête jamais.
Georg Cantor le démontre à la fin du XIXe siècle. La découverte est si choquante que certains collègues le traitent de charlatan ; Leopold Kronecker, l’un des plus influents, l’aurait qualifié de « corrupteur de la jeunesse ».
Cantor, épuisé par les attaques et par la dépression, fait de longs séjours en clinique. Il meurt en 1918, pauvre et affamé, dans un sanatorium de Halle.
« Nul ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous. »
Question au lecteur
Existe-t-il un infini plus grand que celui des entiers, mais plus petit que celui des nombres à virgule ?
- Oui
- Non
- On ne le sait pas encore
- On ne pourra jamais le savoir (bonne réponse)
Si vous répondez « Oui » :
C’est pire : on ne pourra jamais le savoir.
Si vous répondez « On ne pourra jamais le savoir » :
Exactement : on ne pourra jamais le savoir.
C’est l'« hypothèse du continu », posée par Cantor. En 1940, Kurt Gödel montre qu’on ne peut pas la réfuter avec les axiomes habituels des mathématiques. En 1963, Paul Cohen montre qu’on ne peut pas non plus la démontrer. Une question parfaitement claire, dont nous savons qu’elle n’a pas de réponse.
Les mathématiques ont des questions sans réponse. Et elles le savent.
L’infini n’est pas qu’un jeu de l’esprit. Sans lui, pas de calcul infinitésimal, donc ni physique moderne, ni ingénierie, ni informatique. Chaque fois que votre téléphone calcule un trajet, il manie des limites : un infini apprivoisé.
Dénombrable. Se dit d’un ensemble infini dont on peut numéroter les éléments un à un, comme les entiers, les nombres pairs ou les fractions. Les nombres réels, eux, ne le sont pas : leur infini est plus grand.
Les mathématiciens ont apprivoisé l’infini sur le papier. Mais la nature réserve des surprises plus déroutantes encore. Il suffit d’envoyer de la lumière à travers deux fentes.
Sources
- Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles, 1638.
- David Hilbert, « Über das Unendliche », Mathematische Annalen, 1926.
- Georg Cantor, « Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre », 1891 ; Joseph Dauben, Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, 1979.
- Kurt Gödel, 1940 ; Paul Cohen, « The independence of the continuum hypothesis », PNAS, 1963.